Berechne den Winkel zwischen den zwei Geraden.
und
Lösung anzeigen
Tipp: Stelle zuerst die Richtungsvektoren der beiden Geraden auf.
In dieser Aufgabe sollst du den Winkel zwischen zwei Geraden bestimmen. Hierzu verwendest du das Skalarprodukt und die Formel zur Berechnung des Winkels.
Richtungsvektoren bestimmen.
Beginne mit dem Aufstellen der Richtungsvektoren.
Der zu gehörende Richtungsvektor ist . Der zu gehörende Richtungsvektor ist .
Diese Vektoren nutzt du nun, um den Winkel zwischen den Geraden zu bestimmen.
Um den eingeschlossenen Winkel zwischen den Vektoren zu berechnen, benötigst du die Länge der beiden Vektoren und das Skalarprodukt von und . Berechne nun zunächst diese Größen!
Länge der Vektoren berechnen
Zur Berechnung der Länge eines Vektors bildest du das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst und ziehst dann die Wurzel daraus.
Du berechnest zunächst das Skalarprodukt von mit sich selbst und mit sich selbst:
Indem du jetzt jeweils die Wurzel aus dem Skalarprodukt ziehst, erhältst du die Längen der Vektoren:
und
Skalarprodukt berechnen
Jetzt musst du das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen.
Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch .
Hier also:
Das Skalarprodukt von und ist somit .
Winkel berechnen
Mit den bisher berchneten Größen kannst du jetzt den gesuchten Winkel berechnen. Dafür benutzt du die Formel zur Winkelberechnung:
Setze jetzt die bereits berechneten Größen ein!
Der Winkel zwischen den beiden Geraden beträgt .
und
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Tipp: Stelle die Richtungsvektoren der beiden Geraden auf.
In dieser Aufgabe sollst du den Winkel zwischen zwei Geraden bestimmen. Hierzu verwendest du das Skalarprodukt und die Formel zur Berechnung des Winkels.
Richtungsvektoren bestimmen.
Beginne mit dem Aufstellen der Richtungsvektoren.
Der zu gehörende Richtungsvektor ist . Der zu gehörende Richtungsvektor ist .
Diese Vektoren nutzt du nun, um den Winkel zwischen den Geraden zu bestimmen.
Um den eingeschlossenen Winkel zwischen den Vektoren zu berechnen, benötigst du die Länge der beiden Vektoren und das Skalarprodukt von und . Berechne nun zunächst diese Größen!
Länge der Vektoren berechnen
Zur Berechnung der Länge eines Vektors bildest du das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst und ziehst dann die Wurzel daraus.
Du berechnest zunächst das Skalarprodukt von mit sich selbst und mit sich selbst:
Indem du jetzt jeweils die Wurzel aus dem Skalarprodukt ziehst, erhältst du die Längen der Vektoren:
und
Skalarprodukt berechnen
Jetzt musst du das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen.
Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch .
Hier also:
Das Skalarprodukt von und ist somit .
Winkel berechnen
Mit den bisher berchneten Größen kannst du jetzt den gesuchten Winkel berechnen. Dafür benutzt du die Formel zur Winkelberechnung:
Setze jetzt die bereits berechneten Größen ein!
Der Winkel zwischen den beiden Geraden beträgt .
und
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Tipp: Stelle die Richtungsvektoren der beiden Geraden auf.
In dieser Aufgabe sollst du den Winkel zwischen zwei Geraden bestimmen. Hierzu verwendest du das Skalarprodukt und die Formel zur Berechnung des Winkels.
Richtungsvektoren bestimmen.
Beginne mit dem Aufstellen der Richtungsvektoren.
Der zu gehörende Richtungsvektor ist . Der zu gehörende Richtungsvektor ist .
Diese Vektoren nutzt du nun, um den Winkel zwischen den Geraden zu bestimmen.
Hier kannst du entweder analog zu den anderen Aufgaben vorgehen, oder du erkennst, dass die Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Das siehst du daran, dass das Skalarprodukt ergibt.
Um den eingeschlossenen Winkel zwischen den Vektoren zu berechnen, benötigst du die Länge der beiden Vektoren und das Skalarprodukt von und . Berechne nun zunächst diese Größen!
Länge der Vektoren berechnen
Zur Berechnung der Länge eines Vektors bildest du das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst und ziehst dann die Wurzel daraus.
Du berechnest zunächst das Skalarprodukt von mit sich selbst und mit sich selbst:
Indem du jetzt jeweils die Wurzel aus dem Skalarprodukt ziehst, erhältst du die Längen der Vektoren:
und
Skalarprodukt berechnen
Jetzt musst du das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen.
Das Skalarprodukt wird allgemein gebildet durch .
Hier also:
Das Skalarprodukt von und ist somit .
Winkel berechnen
Mit den bisher berchneten Größen kannst du jetzt den gesuchten Winkel berechnen. Dafür benutzt du die Formel zur Winkelberechnung:
Setze jetzt die bereits berechneten Größen ein!
Der Winkel zwischen den beiden Geraden beträgt .